[물리전자] 6.3 앰비폴러 전송 방정식(Ambipolar Transport Equation)

CHAPTER 6

Nonequilibrium Excess Carriers in Semiconductors

 

들어가며

 

이전 글에서, 우리는 연속 방정식(Continuity Equation)에 대한 내용에 대해 알아보았습니다.

아래의 표와 같이 과잉 캐리어(Excess Carrier)가 시간에 따라 어떻게 변화하는지 알아보았는데요.

조금 복잡하죠? 오늘 내용은 이러한 복잡한 관계식을 조금 더 간단하게 표현할 수 있는 방법에 대한 내용입니다.

 

 

따라서, 오늘은 앰비폴러 전송 방정식(Ambipolar Transport Equation)에 대한 개념과 의미에 대해 알아보겠습니다.

 

앰비폴러 전송(Ambipolar Transport)이란?
 : 과잉 전자(Excess Electron)와 과잉 정공(Excess Hole)이 동일한 확산 계수와 이동도를 가지고 이동하는 현상.

 

 

6.3.1 Deriviation of the Ambipolar Transport Equation

 

앰비폴러 전송 방정식(Ambipolar Transport Equation)에 대해 수학적으로 유도하기에 앞서, 의미를 알아보겠습니다.

앞서 공부했듯이, 반도체에 전기장(E_app)을 가하면 전자(Electron)와 정공(Hole)은 서로 반대 방향으로 움직이게 됩니다.

이 때, 이동한 전자(Electron)와 정공(Hole)은 가해준 전기장(E_app)보다 매우 작은 내부 전기장(E_int)을 형성하게 되는데요.

이러한 전기장(E_int)은 가해준 전기장(E_app)과는 반대 방향이며, 이로 인해 전자와 정공끼리 서로 끌어당기는 힘이 발생합니다.

 

 

즉, 이러한 현상에 의해 과잉 전자와 과잉 정공이 동일한 확산 계수, 이동도를 가지고 이동한다고 가정할 수 있겠습니다.

책의 표현을 옮기면 아래와 같습니다.

 

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Since the internal E-field creates a force attracting the electrons and holes, this E-field will hold the pulses of excess electrons and excess holes together. The negatively charged electrons and positively charged holes then will drift or diffuse together with a single effective mobility or diffusion coefficient. This phenomenon is called ambipolar diffusion or ambipolar transport.

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이제, 우리의 목적은 앰비폴러 전송(Ambipolar Transport) 개념과 함께 아래의 식을 간단히 표현하는 것입니다.

 

 

주목해야 할 부분은 빨간색 부분에 해당되는 부분입니다.

당연하게도, 내부의 전기장(E_int)은 가해준 전기장(E_app)보다 매우 작다고 가정할 수 있습니다.

 

식 (6.33)

 

그러나, 해당 변수에 대한 미분값은 다릅니다. 아무리 작은 값을 갖는 변수라도, 그 변화량은 매우 클 수 있기 때문입니다.

따라서, 식 (6.29)와 식 (6.30)을 적절히 변형하여 빨간색 부분을 소거하는 것이 오늘 내용의 전부입니다.

그러기 위해서는 다음과 같이 세 가지의 가정이 필요합니다. 

 

 

즉, 과잉 전자와 과잉 정공의 농도(Concentration), 생성률(Generation rate), 재결합률(Recombination rate)가 동일하므로,

아래의 그림과 같이 정리할 수 있겠습니다.

 

 

이 때, 파란색 글씨는 두 식의 공통된 부분을, 빨간색 글씨는 두 식의 차이가 있는 부분을 표현한 것입니다.

우리의 관심사는 이미 말씀드렸다시피, 초록색 박스 부분이 소거되는 것입니다.

따라서, ①식에 μ_nn, ②식에 μ_pp를 각각 곱하여 서로 더한 후, 식을 정리하면 앰비폴러 전송 방정식을 얻을 수 있습니다.

 

 

 

드디어 외부 자극에 의해 발생한 과잉 캐리어(Excess Carrier)가 시간에 따라 어떻게 변화하는지 구할 수 있게 되었습니다.

위의 미분 방정식, 즉, 앰비폴러 전송 방정식(Ambipolar Transport Equation)을 풀면 구할 수 있음을 의미합니다.

 

 

6.3.1 Limits of Extrinsic Doping and Low Injection

 

이제, 위의 미분방정식을 풀기 위해, 특정 상황을 가정하여 앰비폴러 전송 방정식을 정리하여 표현하겠습니다.

즉, 반도체의 타입(type)이 무엇인지, 주입(Injection), 생성률과 재결합률 조건에 따른 앰비폴러 전송 방정식을 보겠습니다.

 

1) 반도체 타입(Type) 및 저준위 주입(Low-Level Injection)

 

앰비폴러 전송 방정식(Ambipolar Transport Equation)을 구성하는 파라미터들은 특정 조건 하에서 간단하게 표현됩니다.

특정 조건에 의해 충분히 작다고 판단되는 변수들은 무시하여 복잡한 미분방정식을 선형 미분방정식으로 바꾸기 위함이며,

조건을 활용하여 식을 정리하면 간단하게 얻으실 수 있습니다. 정리하면 다음과 같습니다. 

 

 

여기서, 정말 중요하게 생각해봐야 할만한 사항이 있습니다. 위의 표를 통해서 알 수 있는데요. 그것은 바로, 과잉 다수 캐리어(Excess Majority Carrier)의 움직임이 과잉 소수 캐리어(Excess Minority Carrier)의 파라미터에 의해 결정된다는 것입니다. 

 

2) 생성률(Generation Rate) 및 재결합률(Recombination Rate)

 

이번에는 앰비폴러 전송 방정식(Ambipolar Transport Equation)의 마지막 두 항, g'-R 에 대해 자세히 알아보겠습니다.

먼저, 열평형 상태(Thermal Equilibrium)에서의 전자와 과잉 전자의 생성률과 재결합률의 관계는 다음과 같습니다.

(정공(hole)의 경우도 동일한 방법으로 표현할 수 있으니, 전자(electron)에 대해서만 다루겠습니다.)

 

 

위와 같이, 앰비폴러 전송 방정식(Ambipolar transport Equation)에서의 마지막 두 항이 결정됨을 알 수 있습니다.

따라서, 반도체의 타입(type)과 주입(Inspection) 조건에 따른 생성률 및 재결합률은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

 

최종적으로 모든 내용을 정리하면 다음과 같이 정리할 수 있겠습니다. (지금까지, 이 식을 얻기 위해 노력한 것이었습니다.)

 

 

처음에 봤던 복잡한 식에서, 몇 가지 조건을 적용하여 계수가 모두 상수인 미분 방정식으로 간단하게 정리가 되었습니다.

이러한 앰비폴러 전송(Ambipolar Transport)의 개념은 반도체의 전류-전압 특성을 기술할 때 매우 도움이 될 것입니다.

 

마치며

 

오늘은 앰비폴러 전송 방정식(Ambipolar Transport Equation)에 대해 알아보았습니다.

연속 방정식(Continuity Equation)의 개념을 다루며 등장했던 복잡한 방정식에 대해, 특정 조건을 적용하여 간단하게 정리하는 과정을 공부하였으며, 이를 통해 과잉 캐리어(Excess Carrier)가 시간에 따라 어떻게 변화하는지 계산할 수 있게 되었습니다.

다음 글에서는 예제를 통해 앰비폴러 전송 방정식(Ambipolar Transport Equation)이 어떻게 활용되는지 알아보겠습니다.

 

감사합니다.

 

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