[물리전자] 6.1.3 연속 방정식(Continuity Equations)

CHAPTER 6

Nonequilibrium Excess Carriers in Semiconductors

 

들어가며

 

이전 글에서, 우리는 외부 자극에 의해 발생한 과잉 캐리어(Excess Carrier)가 시간에 따라 어떻게 변화하는지 학습하였습니다.

오늘은 생성과 재결합에 이어, 연속 방정식(Continuity Equations or Transport Equations)에 대해 알아보겠습니다. 

 

먼저, 연속 방정식(Continuity Equation)의 정의에 대해 간단하게 알아보겠습니다.

(자세한 내용은 링크를 참조바랍니다. https://byjus.com/physics/continuity-equation/)

 

연속 방정식(Continuity Equation)이란?
 : 물리학에서 질량, 운동량, 에너지와 같이, 보존되는 물리량의 이송(Transport)에 대한 방정식. 

 

이러한 연속 방정식(Continuity Equation)은 다루고자 하는 물리량에 따라 방정식을 이루는 변수가 조금씩 다른데요. 

우리의 주제는 반도체이므로, 반도체 내의 전하에 대한 연속 방정식(Continuity Equation)에 대해 알아보겠습니다.

 

 

6.2.1 Continuity Equations

 

먼저, 아래와 같이 미소 체적(Differential volume) 내의 정공(Hole)에 대한 1차원 선속(Flux) 변화를 보겠습니다.

(여기서, 미소 체적 내에서 캐리어(Carrier)의 생성(Generation)과 재결합(Recombination)은 고려하지 않습니다.)

 

 

 

 

위의 그림에서, 유입되는 양(F_px⁺(x))과 유출되는 양(F_px⁺(x+dx))의 차이를 알면 미소 체적 내 정공의 양을 알 수 있습니다.

간단하게 아래와 같이 생각하면 됩니다.

 

 

 

 

빨간색 글씨는 유입량, 파란색 글씨는 유출량, 초록색 글씨는 미소 체적 내 캐리어의 잔여량을 의미합니다.

 

이러한 내용을 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

식 (6.15)

 

미소 체적 내에서 존재하는 유입량과 유출량의 차이는 선속(Flux)의 미분을 활용해서 구할 수 있다는 것을 의미합니다.

수식에 대한 이해를 돕기 위해 아래의 그림을 첨부합니다.

 

 

 

Chapter 6 시작부터 지금까지 우리는 외부 자극에 의해 발생한 과잉 캐리어의 시간에 따른 변화에 대해 다루고 있습니다.

파라미터의 단위를 생각하며 아래의 수식을 보겠습니다. 

 

 

여기서, 시간에 따른 과잉 캐리어의 변화량을 구할 때, 연속 방정식(Continuity Equation)의 정의가 활용됩니다.

 

우리는 지금까지 미소 체적(Differential volume) 내의 정공(Hole)에 대한 1차원 선속(Flux) 변화에 대해 고려했는데요.

일반적인 3차원에 대해 생각할 경우, 델 연산자(Del operator)를 활용하면 됩니다.

즉, 캐리어의 선속에 대한 발산(Divergence)을 계산하면 미소 체적 내의 시간에 따른 캐리어의 변화량에 대해 알 수 있습니다.

 

이제, 우리는 미소 체적(Differential volume) 내에서 캐리어 변화에 영향을 주는 모든 경우에 대해 학습하였습니다.

즉, 시간에 따른 과잉 캐리어의 변화량은 다음과 같이 세 항으로 구성되는 것을 알 수 있습니다.

 

 

이를 수식으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

식 (6.18)

 

위에서 했던 방법과 동일한 방법으로, 전자에 대한 시간 변화량도 구할 수 있겠습니다.

 

 

6.2.2 Time-Dependent Diffusion Equations

 

우리는 Chapter 5에서 표류 전류(Drift Current)와 확산 전류 (Diffusion Current)에 대해 학습했습니다.

이를 활용해서, 식 (6.18)을 더 변형해보도록 하겠습니다. 먼저, 복습하고 가겠습니다.

 

전자(Electron)와 정공(Hole)이 만들어내는 전류 밀도(Current Density)는 다음과 같습니다.

 

식 (6.20)

 

식 (6.21)

 

전류 밀도(Current Density)와 선속(Flux)의 관계를 통해 위의 두 식은 아래의 식으로 다시 표현할 수 있습니다.

 

식 (6.22)

 

식 (6.23)

 

이제, 식 (6.22)을 식 (6.18)에 대입하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

정공(hole)의 농도와 전기장(Electric Field)은 각각 거리에 대한 함수이므로 합성함수에 대한 미분을 해야합니다.

전자(Electron)에 대한 시간 변화량도 동일한 방법으로 구할 수 있으며, n₀, p₀는 상수이므로 최종적으로 다음과 같습니다.

 

 

즉, 위의 미분 방정식의 해를 구함으로써 시간에 따른 과잉 캐리어의 변화을 알 수 있습니다.

그런데, 보시다시피 위의 미분 방정식의 해를 구하기에는 식이 매우 복잡한 것을 확인할 수 있는데요.

다음 글에서 앰비폴라 전송 방정식(Ambipolar Transport Equation)에 대해 알아보며 더 자세히 알아보겠습니다.

 

 

마치며

 

오늘은 연속 방정식(Continuity Equation)에 대해 학습하였고, 시간에 따른 과잉 캐리어의 변화량에 대해 알아보았습니다.

반도체 내에서 캐리어(Carrier)의 거동을 해석할 수 있다는 것은 소자의 전류-전압 특성을 해석할 수 있다는 것을 의미합니다.

이후 앰비폴라 전송 방정식(Ambipolar Transport Equation)의 기초가 되므로 꼭 이해하고 넘어가셨으면 좋겠습니다.

 

감사합니다.

 

 

 

읽어보면 도움 되는 포스팅

 

 

2022.12.05 - [Semiconductor] - [물리전자] 5.1.1 표류 전류 밀도(Drift Current Density)

2022.12.13 - [Semiconductor] - [물리전자] 5.2.1 확산 전류 밀도(Diffusion Current Density)

2022.12.15 - [Semiconductor] - [물리전자] 5.3.2 아인슈타인 관계식(The Einstein Relation)

2022.12.22 - [Semiconductor] - [물리전자] 6.1.2 과잉 캐리어의 생성과 재결합(Excess Carrier Generation and Recombination )