[물리전자] 5.4 홀 효과(The Hall Effect)

CHAPTER 5

Carrier Transport Phenomena

 

 

들어가며

 

지금까지 대부분의 경우 캐리어의 농도와 이동도는 값이 주어졌지만, 실제 상황에서는 조건에 따라 값을 구해야하는데요.

오늘은 반도체 캐리어의 농도(Concentration)와 이동도(Mobility)를 실험적으로 측정하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

오늘의 주제는 '홀 효과(The Hall Effect)' 입니다.

 

 

5.4 The Hall Effect

 

홀 효과(The Hall Effect)는 1879년 Edwin Hall이 대학원 박사 학위 기간 중에 발견했다고 합니다.

홀 효과(The Hall Efeect)를 이해하려면, 먼저 자기장(Magnetic Field) 속에서 움직이는 전하가 받는 힘에 대해 알아야 됩니다.

 

식 (5.48)

 

즉, 자기장이 B 내에 존재하는 전하량 q의 입자가 v의 속도로 움직일 때,

입자는 자기장의 방향과 입자가 움직이는 방향에 각각 수직인 방향으로 힘을 받는다는 것을 의미합니다.

(더 자세한 내용은 우측 링크의 '로렌츠 힘'을 참고 바랍니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force)

 

아래의 실험 상황에 대한 그림을 보겠습니다.

 

 

파란색 문자는 실험 조건을 표현한 것이고, 초록색 문자는 좌표계를 설정한 것이며, 빨간색 문자는 순서를 표현한 것입니다.

 

정리하면 아래와 같습니다.

No.	실험 조건	파라미터		No.	내용
ⓐ	길이	L		①	반도체에 전압 Vx을 가한다.
ⓑ	너비	W		②	인가 전압에 의해 전류 Ix가 흐른다.
ⓒ	높이	d		③	식 (5.48)에 의해 전자(n) 또는 정공(p)이 힘을 받아 y=0 평면에 축적된다.
ⓓ	자기장	Bz		④	축적된 전하에 의해 전기장이 유도되며, 이를 Hall field라 하며,   Hall field에 의해 생성되는 전압을 Hall Voltage(VH) 라고 한다.

Hall Voltage(V_H)를 측정함으로써 반도체의 타입, 캐리어의 농도(Concentration)와 이동도(Mobility)를 구할 수 있습니다.
차례대로 구해보겠습니다.

1) 반도체의 타입(p-type or n-type)

정상상태(Steady State)에 도달하면, Hall Voltage(V_H)와 로렌츠 힘은 서로 상쇄되어 입자는 x방향에서만 움직이게 됩니다.

이러한 상태를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

식 (5.49a)

 

방향과 크기를 고려하여 외적을 정리하면 아래와 같이 표현할 수 있게 됩니다.

 

식 (5.49b)

 

한편, 전기장(E)의 정의를 이용하여 홀 전압(Hall Voltage)를 표현하면 다음과 같습니다. 

 

식 (5.50)

 

이 때, 억셉터(Acceptor) 원자가 도핑되었다고 가정하면, 위의 그림처럼 홀 전압(Hall Voltage)은 (+) 값으로 측정되고,

도너(Donor) 원자가 도핑되었다고 가정하면 홀 전압(Hall Voltage)은 (-) 값으로 측정될 것입니다.

즉, 홀 전압(Hall Voltage)의 부호로 반도체의 타입을 유추할 수 있습니다.

 

2) 캐리어의 농도(Carrier Concentration)

 

다시 돌아와서, 식 (5.50)을 식 (5.49b)에 대입하면 아래와 같은 관계식을 얻습니다.

 

식 (5.51)

 

우리는 앞서 Chapter 5.1.1에서 다룬 관계식과 전류 밀도의 정의를 활용하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.

 

 

즉, 위의 식을 참고하여 식 (5.51)에서의 입자의 이동 속도(v_x)를 표현하면 다음과 같습니다.

 

식 (5.52)

 

이제, 식 (5.52)를 식 (5.51)에 대입하면 홀 전압(Hall Voltage)과 캐리어의 농도(Concentration)을 구할 수 있습니다.

다음과 같이, 네 가지 경우에 대해 다음과 같이 표현되는 것을 확인할 수 있습니다.

 

3) 캐리어 이동도(Carrier Mobility)

 

캐리어의 이동도(Carrier Mobility)는 다수 캐리어 농도(Majority Carrier Concentration)를 구하는 과정에서 알게됩니다.

이미 공부한 내용을 적용하기만 하면 됩니다. 즉, 정공에 대한 표류 전류 밀도(Drift Current Density)는 다음과 같습니다.

 

식 (5.57)

 

 

동일한 방법으로, 전류 밀도(J)와 전기장(E)의 정의를 활용하여 식 (5.57)을 다시 표현하면 다음과 같습니다.

 

식 (5.58)

 

 

식 (5.58)에서 캐리어의 이동도(Carrier Mobility)를 제외한 모든 파라미터를 알고 있기 때문에, 이동도를 구할 수 있습니다.

 

 

마치며

 

오늘은 반도체 캐리어의 농도(Concentration)와 이동도(Mobility)를 실험적으로 측정하는 방법에 대해 알아보았습니다.

이로써, Chapter 5.4 홀 효과(The Hall Effect)를 마지막으로 챕터 5를 마무리 하였습니다.

다음 글에서부터는 Chapter 6. Nonequilibrium Excess Carriers in Semiconductors에 대해 공부하도록 하겠습니다.

감사합니다.

 

 

 

읽어보면 도움 되는 포스팅

 

2022.12.05 - [Semiconductor] - [물리전자] 5.1.1 표류 전류 밀도(Drift Current Density)

2022.12.08 - [Semiconductor] - [물리전자] 5.1.2 캐리어 이동도 (Mobility Effects)

2022.12.15 - [Semiconductor] - [물리전자] 5.3.2 아인슈타인 관계식(The Einstein Relation)