[물리전자] 5.1.2 캐리어 이동도 (Mobility Effects)

CHAPTER 5

Carrier Transport Phenomena

 

 

들어가며

 

우리는 지난 시간에 표류 전류 밀도를 다루면서 캐리어 이동도(Carrier Mobility)에 대해 간단하게 알아봤는데요.

오늘은 캐리어 이동도(Carrier Mobility)에 대해 더 자세하게 다뤄보겠습니다.

 

5.1.2 Mobility Effects

 

지난 글에서 말씀드렸던 것처럼, 스캐터링(Scattering)으로 인한 전하의 운동 특성 변화에 대해 알아보겠습니다.

대표적인 스캐터링(Scattering) 매커니즘에 대해 다시 한번 보고 넘어가겠습니다.

 

No.	대표적인 스캐터링(Scattering) 메커니즘
1	Charged particles  ↔ ionized impurity atoms
2	Charged particles  ↔ thermally vibrating lattice atoms

 

우리는 이전 글에서 외부의 전기장(Electric Field)에 의해 운동하는 정공(hole)에 대해 다음과 같이 표현하였습니다.

 

식 (5.3)

 

이 때, 가속도(a)를 속도(v)에 대한 미분으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

식 (5.10)

 

식 (5.10)의 변수 v는 전기장에 의한 정공(hole)의 평균 표류 속도를 의미합니다.

이 때, 유효 질량(m_cp^*)과 전기장(E)이 시간에 따라 변하지 않는 상수 함수라면, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

식 (5.11)

 

식 (5.11)에 의하면 전기장에 의한 정공(hole)의 평균 표류 속도(v)는 시간에 따라 증가하는 것으로 표현되는데요.

정공(hole)이 다른 입자와 충돌하기까지의 평균 시간을 τ_cp 라고 하면, 식 (5.11)은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

(식 (5.12a)는 통계 모델에 따라 상수배 만큼의 차이가 있을 수 있습니다. 그러나, 식 (5.12a)가 더 정확하다고 알려져 있습니다.)

 

식 (5.12a)

 

따라서, 정의에 의해 식 (5.12a)의 괄호 부분이 정공(hole)의 이동도(Mobility)임을 알 수 있습니다.

 

식 (5.13)

 

동일한 방법으로 전자(electron)의 이동도(mobility)를 구하면 다음과 같습니다.

 

식 (5.14)

 

이로써, 우리는 캐리어(Carrier)의 이동도(Mobility)가 캐리어의 유효 질량과 충돌 시간의 함수라는 것을 알았습니다.

즉, 캐리어(Carrier)의 이동도(Mobility)는 유효 질량(m)이 작을수록, 충돌 간 평균 시간(τ)는 클수록 큰 것을 알 수 있습니다.

 

이 때, 충돌 간 평균 시간(τ)에 대한 변화 요인이 바로 앞서 살펴봤던 스캐터링(Scattering) 입니다.

대표적인 스캐터링(Scattering) 메커니즘 두 가지 경우에 대해 차례대로 알아보겠습니다.

 

 

1) Lattice(Phonon) Scattering

 

절대 온도 (T=0K)가 아닌 경우, 어느 정도의 열에너지에 의해 반도체 결정 내 원자들은 무작위적으로 진동합니다.

무작위로 진동하는 원자(Vibrating lattice atoms)들은 캐리어와 상호작용하여 이동도(Mobility)에 영향을 미칩니다.

당연하게도, 열에너지가 클수록 진동하는 정도도 증가하게 될 것이므로, 이동도(Mobility)는 낮아집니다.

다른 스캐터링(Scattering)의 영향은 없다고 가정하면, Lattice Scattering에 의한 이동도는 아래의 관계식을 가집니다.

 

식 (5.15)

 

아래의 그래프는 온도 변화에 따른 이동도(Mobility)의 변화를 나타낸 것입니다.

 

 

정리하면 다음과 같습니다.

 

No.	이동도(Mobility) 관련 파라미터	특징
①	온도(Temperature)	일반적으로, 온도와 관계 없이 전자의 이동도가 정공의 이동도보다 큼 (μn > μp)
		온도가 증가할수록 캐리어 이동도(Mobility) 감소
②	도핑 농도(Doping Concentration)	도핑 농도가 증가할수록 캐리어 이동도(Mobility) 감소
		도핑 농도가 증가할수록 온도 증가에 따른 이동도(Mobility) 감소율 감소

 

2) Ionized impurity Scattering

 

이번에는 도핑 후, 이온화 된 도핑 원자로 인한 스캐터링(Scattering)에 대해서 알아보겠습니다.

아래 이미지는 이해를 돕기 위한 그림입니다.

 

 

이러한 스캐터링(Scattering)은 두 가지 변수에 의해 결정되는데, 그건 바로 도핑 농도와 온도입니다.

반도체 내부의 캐리어(Carrier)는 주변의 이온화 된 원자와의 쿨롱 힘(Coulomb's Force)으로 인해 움직임을 방해 받습니다.

이러한 방해 효과는 도핑(Doping)을 많이 하면 할수록, 완전 이온화(Complete Ionization) 될수록 커집니다.

또한, 온도가 증가함에 따라 캐리어(Carrier)의 속도는 증가하여, 주변으로부터 단위 시간 당 쿨롱 힘을 적게 받게 됩니다.

 

식 (5.16)

 

N_I는 이온화 된 도펀트 원자의 수이며,N_I = N_d⁺ + N_a^- 로 표현됩니다.

아래의 그래프는 도핑 농도에 따른 이동도(Mobility)의 변화를 나타낸 것입니다.

이미 확인했던 것처럼, 도핑 농도가 증가할수록 캐리어의 이동도(Mobility)가 감소하는 것을 확인할 수 있습니다.

 

 

지금까지 다룬 스캐터링(Scattering)이 서로 독립적이라고 가정하면, 이동도(Mobility)는 다음과 같이 표현됩니다.

 

식 (5.18)

 

마치 회로의 병렬 저항을 구하는 것과 구성이 동일한 것을 알 수 있습니다.

즉, 병렬 저항이 추가될수록 합성 저항이 작아지는것처럼, 더 많은 스캐터링을 고려할수록 이동도는 감소하게 됩니다.

(자세한 스캐터링(Scattering) 매커니즘은 링크를 참조바랍니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Electron_mobility)

 

No.	스캐터링(Scattering) 매커니즘
1	Lattice (phonon) scattering
2	Ionized impurity scattering
3	Piezoelectric scattering
4	Surface roughness scattering
5	Alloy scattering
6	Inelastic scattering
7	Electron–electron scattering

 

 

마치며

 

오늘은 캐리어 이동도(Carrier Mobility)에 대해 조금 더 자세하게 알아보았습니다. 

다음 글에서는 전기전도도(Conductivity)에 대해 알아보겠습니다.

 

감사합니다.

 

 

 

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