[물리전자] 4.4.2 완전 이온화(Complete Ionization)와 동결(Freeze-Out)

 

CHAPTER 4

The Semiconductor in Equilibrium

 

들어가며

 

Chapter 4장에서 크게 불순물 반도체(Extrinsic Semiconductor), 축퇴(Degenerate)에 대한 개념에 대해 알아보았습니다.

오늘은 도펀트 원자들이 도핑한 농도 대비 얼마큼 이온화 되었는지 수학적으로 계산하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

 

4.4.1 Probability Function

 

우리는 Chapter 3.5.2에서 반도체의 전자(electron)의 거동을 다루기 위해 Fermi-Dirac 확률 분포를 사용했습니다.

도너(Donor) 전자 또는 억셉터(Acceptor) 정공의 거동을 다루기 위해서도 적절한 확률 모델이 필요한데요.

 

아래의 표를 보겠습니다.

 

No.	구분	수식	비고
1	전자(Electron)의 농도		식 (4.11) 볼츠만 근사 적용 가능한 경우
			식 (4.46) 볼츠만 근사 적용 불가능한 경우
2	도너 전자(Donor electron) 농도		식 (4.50)
3	억셉터 정공(Acceptor Hole) 농도		식 (4.52)

 

수식이 비슷한 형태인 것이 보이시나요?

주목할점은, 자연지수함수의 계수부분입니다. 도너 전자의 경우는 1/2, 억셉터 정공의 경우는 1/4인 것을 알 수 있습니다.

이 때, 초록색 원으로 표시된 부분을 축퇴도(Degeneracy factor)라고하며, 보통 1/q 로 표현하여 사용합니다. 

 

지난 글에서, 축퇴(Degenerate)란 같은 에너지 준위에서 둘 이상의 양자 상태를 가지고 있는 상태를 의미한다고 했죠.

 

즉, 도너 전자(Donor electron)의 경우, 같은 에너지 준위에서 2개의 양자 상태를 가질 수 있음을 의미하며,

억셉터 정공(Acceptor Hole)의 경우, 같은 에너지 준위에서 4개의 양자 상태를 가질 수 있다고 알려져 있습니다.

 

이러한 축퇴도(Degeneracy factor)는 물질의 에너지 밴드 구조에 따라 변할 수 있다고 합니다.

이제, 본격적으로 도핑한 농도 대비 얼마큼 이온화 되었는지에 대해 알아보겠습니다.

 

4.4.2 Complete Ionization and Freeze-Out

 

도펀트가 모두 이온화 된 경우를 완전 이온화(Complete Ionization), 그 반대를 동결(Freeze-Out)이라고 합니다.

 

도너(Donor)를 도핑했다고 가정해보겠습니다.

도너(Donor)의 이온화 된 정도는 전자의 농도(n₀)와 도너 전자의 농도(n_d) 관계식으로 표현할 수 있습니다. 

 

먼저, 식 (4.50)은 지수함수의 값이 큰 경우 분모의 첫째항 "1"을 무시하고, 다음과 같이 근사화할 수 있습니다.

 

식 (4.53)

 

그리고, 도너(Donor)의 이온화 정도는 아래의 식 (4.54)와 같이 구할 수 있습니다.

 

식 (4.54)

 

분모, 분자에 도너 전자의 농도(n_d)를 나누어, 식 (4.54)를 더 간단하게 정리하면 다음과 같습니다.

 

식 (4.55)

 

이전 Chapter 4.2를 다룬 글에서 다음과 같이 도너 전자(Donor Electron)의 농도에 대해 다룬 적 있습니다.

 

식 (4.51)

 

즉, 도너 전자(n_d)는 도너 원자(N_d)의 수에서 이온화 된 도너 원자(N_d⁺)를 뺀 것과 같다는 것을 의미합니다.

따라서, 도너 전자(n_d)가 적을수록 이온화가 더 많이, 도너 전자(n_d)가 많을수록 이온화가 더 적게 됐다는 것입니다.

 

각각의 경우에 대해 정리하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

No.	구분	표현 ①	표현 ②
1	완전 이온화 (Complete Ionization)
2	동결 (Freeze-Out)

 

억셉터(Acceptor)의 경우도 도너(Donor)와 동일한 방법으로 구할 수 있습니다.

아래의 Figure 4.12는 완전 이온화(Complete ionization)에 대한 에너지 밴드 다이어그램입니다.

 

 

 

참고로, 예제 4.7과 예제 4.8을 통해 실온(T=300K)에서는 완전 이온화(Complete Ionization) 되었다고 간주할 수 있습니다.

 

마치며

 

오늘은 도펀트 원자들이 도핑한 농도 대비 얼마큼 이온화 되었는지 수식으로 알아보았습니다.

다음 글에서는 전하 중성 조건(Charge Neutrality)에 대해 알아보겠습니다.

 

감사합니다.

 

 

읽어보면 도움 되는 포스팅

 

2022.11.14 - [Semiconductor] - [물리전자] 3.5.2 페르미-디락 확률 함수(The Fermi-Dirac Probability Function)

2022.11.16 - [Semiconductor] - [물리전자] 3.5.3 페르미-디락 확률 함수 Ⅱ(The Fermi-Dirac Probability Function)

2022.11.24 - [Semiconductor] - [물리전자] 4.2 도펀트 원자와 에너지 준위 (Dopant Atoms and Energy Levels)