[물리전자] 4.3.1 평형 상태일 때 불순물 반도체의 캐리어 농도 (The Extrinsic Semiconductor)

CHAPTER 4

The Semiconductor in Equilibrium

 

들어가며

 

우리는 Chapter 4.1.3에서 평형 상태의 진성 반도체(Intrinsic Semiconductor) 캐리어의 농도에 대해 알아본 적 있습니다.

오늘은 평형 상태의 불순물 반도체(Extrinsic Semiconductor) 캐리어의 농도에 대해 알아보겠습니다.

 

 

4.3.1 Equilibrium Distribution of Electrons and Holes

 

평형 상태의 불순물 반도체(Extrinsic Semiconductor) 캐리어의 농도를 구하기 위해 두 가지만 알면 됩니다.

① 도펀트(Dopant) 도핑시, Fermi Energy Level 의 변화
② 평형 상태의 진성 반도체(Intrinsic Semiconductor)의 캐리어의 농도

 

1) 도핑(Doping)시 Fermi Energy Level이 변화하는 이유

 

너무 당연하게도, 도핑을 하게 되면 전자나 정공의 분포가 달라지기 때문에 Fermi-Energy Level이 변화합니다.

아래의 그림은 도핑과 관련된 모든 경우에 대한 그림입니다.

 

 

Figure 4.1은 평형 상태의 진성 반도체에 대한 캐리어 농도를 표현한 그림입니다. 페르미 준위는 밴드갭 중간 있고,

Figure 4.8은 진성 반도체에 도너(Donor)를 도핑했을 때의 그림이며 페르미 준위가 증가한 것을 볼 수 있습니다.

Figure 4.9는 진성 반도체에 억셉터(Acceptor)를 도핑했을 때의 그림이며 페르미 준위가 감소한 것을 볼 수 있습니다.

 

간단하게 정리하면 다음과 같습니다.

Case	Figure	분류	도펀트(Dopant)	EF (Fermi Energy Level)
1	Figure 4.1	Intrinsic Semiconductor	-	EF = EFi
2	Figure 4.8	Extrinsic Semiconductor	Donor	EF > EFi
3	Figure 4.9	Extrinsic Semiconductor	Acceptor	EF < EFi

 

우리는 Figure 4.1을 통해 평형 상태의 진성 반도체 캐리어 농도를 구해본 경험이 있죠.

이제, 진성 반도체의 캐리어 농도(ni, pi)를 활용해서 평형 상태의 불순물 반도체의 캐리어 농도(n0, p0)를 표현하겠습니다.

 

2) 평형 상태의 불순물 반도체(Extrinsic Semiconductor)의 캐리어의 농도

 

먼저, 도핑시 진성 페르미 준위(E_Fi)는 변하므로 페르미 준위(E_F)와 구분할 필요가 있습니다.

간단한 수학적 테크닉을 사용해서 표현하면 평형 상태의 불순물 반도체에 대한 전자(electron)의 농도는 다음과 같습니다. 

 

 

동일한 방법으로 평형 상태의 불순물 반도체에 대한 정공(hole)의 농도도 구할 수 있으며, 결과는 다음과 같습니다.

 

식 (4.39)

 

식 (4.40)

 

진성 반도체라고 가정하면, 위의 두 식에서 지수함수 값은 1이 되므로 이전에 다룬 내용을 포함하는 것을 알 수 있습니다.

 

4.3.1 The n₀p₀ Product

평형 상태일 때의 진성 반도체에 대한 캐리어의 농도를 구할 때에도 비슷한 내용을 한 적이 있습니다.

이번에도 동일하게 식 (4.39)와 식 (4.40)을 곱하면 다음과 같이 재미있는 항등식을 얻을 수 있습니다.

 

식 (4.43)

 

이것은 도핑의 유무와는 관계없이, 평형 상태(Thermal Equilibrium)라면 항상 성립하는 식입니다.

(엄밀하게 말하면, 식 (4.43)은 볼츠만 근사(Boltzmann approximation)로 도출되어 성립하지 않는 경우도 있습니다.

자세한 내용은 바로 아래의 Chapter 4.3.3의 내용 참고 바랍니다. 근사를 하지 않고 새로운 함수를 정의하여 표현합니다.)

 

나중에 정말 많이 쓰이게 될 관계식이므로 꼭 기억하시고 가셨으면 좋겠습니다.

 

마치며

 

오늘은 평형 상태의 불순물 반도체(Extrinsic Semiconductor) 캐리어의 농도에 대해 알아보겠습니다.

뭔가 내용이 많은 것 같지만, 이전에 다룬 내용과 거의 동일하기 때문에 이해하기에 수월할 것입니다.

다음 글에서는 축퇴, 비축퇴 반도체에 대해 간단히 알아보겠습니다.

 

감사합니다.

 

 

읽어보면 도움되는 포스팅

 

2022.11.23 - [Semiconductor] - [물리전자] 4.1.3 진성 캐리어 농도 (The Intrinsic Carrier Concentration)