[물리전자] 3.5.3 페르미-디락 확률 함수 Ⅱ(The Fermi-Dirac Probability Function)

 

CHAPTER 3

Introduction to The Quantum Theory of Solids

 

오늘은 지난 포스트에 이어서 Fermi Energy에 대해 알아보겠습니다.

3.5.3 The Distribution Function and the Fermi Energy

지난 글에서 다뤘던 내용을 다시 보겠습니다.

 

Fermi-Dirac distribution (3.79)

 

No.	항(term)	의미(Meaning)
1	N(E)	the number of particles per unit volume per unit energy.
2	g(E)	the number of quantum states per unit volume per unit energy.
3	fF(E)	the probability that a quantum state at the energy E will be occupied by an electron.  (= the ratio of filled to total quantum states at any energy E. )
4	EF	the energy below which all states are filled with electrons and above which all states are empty at T=0K

 

식 (3.79)는 여러 입자 중 전자(electron)을 다루기 위해 도입한 Fermi-Dirac Probability Function 입니다.

이제, 조건을 나누어 주어진 Fermi-Dirac Probability Function을 그려보고 그 의미를 알아보겠습니다.

 

아래의 표를 참고하여 식 (3.79)에 각각 대입하면 Figure 3.29와 Figure 3.33와 같이 그래프를 구할 수 있습니다.

No.	온도 조건	함수값 (Fermi-Dirac Probability Function)
		E < E_F 일 때	E > E_F 일 때
1	T=0K	1	0
2	T>0K	감소	증가

 

Figure 3.29는 T=0K, E<E_F인 경우일 때, 해당 에너지에서의 모든 양자 상태(Quantum states)에 전자가 존재한다는 것을 의미합니다. 즉, E>E_F인 경우에는 해당 에너지 내에는 양자 상태(Quantum states)는 존재하지만 그 곳을 채우고 있는 전자는 없다는 것입니다.

 

그렇다면 T>0K인 경우는 어떨까요?

이 경우에는 해당 에너지에서의 모든 양자 상태(Quantum states)를 채우고 있던 전자가 외부의 에너지를 받아 여기(excitation)합니다. 그렇기 때문에 E<E_F인 경우, T=0K일 때의 동일 에너지 대비 함수값이 감소하는 것이며, E>E_F인 경우, 함수값이 증가하는 것이죠.

 

Figure 3.30과 Figure 3.32의 그림이 이러한 내용을 잘 표현해줍니다.

 

 

마지막으로 Fermi-Dirac function의 근사(Approximation)에 대해 알아보겠습니다.

다시 식(3.79)를 볼까요?

 

Fermi-Dirac distribution (3.79)

 

함수를 자세히 보면 분모의 '1' 만 없다면, 함수를 더 간편하게 표현할 수 있을 것 같습니다.

그렇다면 어떤 조건일 때 분모의 '1'을 무시하고 근사화할 수 있을까요?

 

바로, E-E_F >> kT 인 경우입니다.

교재의 Example 3.8의 문제에서처럼, E-E_F 가 3kT 이상이면 오차 범위가 약 5% 이내로 근사화할 수 있습니다.

 

 

 

드디어 Chapter 3을 마무리 하였습니다.

지금까지 반도체의 C-V 특성을 알기 위해 에너지 밴드, 유효 질량, 상태 밀도 함수, 전자의 분포 함수에 대해 알아봤습니다.

Chapter 4에서는 그 동안 다뤘던 개념을 가지고 전자 및 정공의 농도를 구해보겠습니다.

 

긴 글 읽어주셔서 감사합니다.