[물리전자] 3.5.2 페르미-디락 확률 함수(The Fermi-Dirac Probability Function)

 

CHAPTER 3

Introduction to The Quantum Theory of Solids

 

지금까지 상태 밀도 함수(Density Of states Functions)에 대해 알아보았습니다.

오늘은 특정 양자 상태(quantum state)에 전자가 존재할 확률에 대해 알아보겠습니다.

 

3.5 Statistical Mechanics

수많은 입자의 거동을 다룰 때, 각각의 입자에 대한 거동을 다루는 것보다 여러 입자를 그룹화하여 통계적으로 다룹니다.

 

가스통의 압력에 대해 예를 들어볼까요?

가스통 내부의 가스 분자들은 가스통 내부의 벽과 충돌하며 압력을 가합니다. 우리는 그러한 압력을 압력 게이지(Pressure Gauge)를 통해 측정합니다. 이렇게 측정된 압력은 가스통 내부의 가스 분자들에 의한 평균 압력을 의미합니다.

즉, 압력은 각 가스 분자들에 의한 충돌(Collision)에 의해 만들어지지만, 실제로 다룰 땐 대상을 그룹화하여 생각합니다.

 

이처럼, 반도체의 전기적 특성을 다룰 때에도 결정(Crystal) 내 전자들의 통계적 거동을 활용하는데,

그것이 바로 오늘 다룰 주제인 Fermi-Dirac Probability Function 입니다.

 

3.5.1 Statistical Laws

아래의 표와 같이 가능한 에너지 상태에 대한 입자의 분포(the distribution of particles)는 3가지가 있습니다.

 

No.	입자 분포 (The Distribution of Particles)	대표 입자	대표 특징(Characteristic)
1	Maxwell-Boltzmann probability function	● Gas molecules	1) 입자 간 구분 가능
			2) 특정 에너지 준위에 대해 입자 수 제한 X
2	Bose-Einstein function	● Photons  ● Black body radiation	1) 입자 간 구분 불가능
			2) 특정 에너지 준위에 대해 입자 수 제한 X
3	Fermi-Dirac probability function	● Electrons	1) 입자 간 구분 불가
			2) 특정 에너지 준위에 대해 입자수 제한 O

 

 

2개의 입자가 3개의 에너지 준위에 들어가는 경우 각 통계적 경우의 수

(출처 : http://jnwhome.iptime.org/?p=239)

 

이 중에서 우리가 다루게 될 입자(particle)는 전자(Electron) 입니다.

즉, 전자는 Fermi-Dirac Probability Function을 따르는 것을 알 수 있으며, 이를 통해 전자의 거동을 알 수 있습니다.

3.5.2 The Fermi-Dirac Probability Function

 

이제, Fermi-Dirac 확률 함수에 대해 자세히 알아보겠습니다.

 i 번째 에너지 준위(Energy Level)에 양자 상태(quantum state)가 q_i 개 존재, 전자가 N_i개 존재한다고 가정하겠습니다.

(이 때, 양자 상태(quantum state)는 전자보다 많다고 가정합니다.)

이제, 전자 N_i개가 양자 상태(quantum state)에 존재할 수 있는 경우의 수를 구해보겠습니다.

이는 N_i 개의 전자를 q_i개의 양자 상태(quantum state)에 배열하는 것과 같으므로 다음과 같습니다.

식 (3.76)

앞서 전자(electron)는 입자 간 서로 구분이 가능하지 않다고 했으므로, 중복되는 경우를 제외해야 합니다.

(n명 중에서 반장을 r명 뽑는 조합 문제와 동일하다고 생각하시면 됩니다.)

 

따라서, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

식 (3.77)

즉, i 번째 에너지 준위(Energy Level)에 있는 양자 상태(quantum state)에 qi 개에 전자가 Ni개가 분포할 경우의 수 입니다.

 

그렇다면 각 에너지 준위에 존재하는 양자 상태에 전자가 분포할 경우의 수는 어떻게 표현할 수 있을까요?

각각의 경우는 독립이므로, 각 에너지 준위에서 전자가 분포할 수 있는 모든 경우의 수는 다음과 같습니다.

식 (3.78)

이제 우리가 궁금한 것은 식 (3.78)에서 가장 큰 값을 갖는 W를 찾는 것이고, 그 때의 확률 분포를 구하는 것입니다.

라그랑주 승수법(Lagrange multiplier)과 스털링 근사(Stirling's approximation)을 참고하여 구하면 다음과 같습니다.

 

Fermi-Dirac distribution (3.79)

No.	항(term)	의미(Meaning)
1	N(E)	the number of particles per unit volume per unit energy.
2	g(E)	the number of quantum states per unit volume per unit energy.
3	f_F(E)	the probability that a quantum state at the energy E will be occupied by an electron.
4	E_F	the ratio of filled to total quantum states at any energy E.

(관련 내용의 증명은 링크를 통해 참고 바랍니다. → http://www.kkmcpakur.org.in/onlinefiles/Fermi%20Dirac%20Statistics.pdf )

 

 

오늘은 통계역학(Statistical Mechanics), 그 중에서도 Fermi-Dirac 함수의 유도 과정을 알아봤습니다.

앞으로 자주 나오게 될 내용이므로 확실히 이해하시면 좋을 것 같습니다.

 

다음 글에서는 Fermi Energy 에 대해 더 자세히 다뤄보도록 하겠습니다.

감사합니다.