[물리전자] 2.3.1 자유 공간에서의 전자의 거동(파동방정식 예제1)

 

CHAPTER 2

​

Introduction to Quantum Mechanics

 

2.3 Applications Of Schrodinger's Wave Function

이번 포스트는 여러 Potential Function에 대한 슈뢰딩거의 파동 방정식 예제를 다뤄보겠습니다.

오늘 다룰 내용은 이후 반도체의 특성에 대한 내용을 학습할 때 유용하게 활용될 예정이니 완벽한 이해를 목표로 포스팅하겠습니다.

 

2.3.1 Electron in Free Space

지난 글의 마지막 부분에서 말씀드렸다시피, 가장 대표적으로 두 가지 경우에 대한 파동 방정식의 예시가 있었습니다.

하나는 모든 위치에서 Potential Function이 유한했고, 나머지 하나는 특정 위치에서 Potential Function이 무한했습니다.

 

먼저, 전자에 대해 학습해보겠습니다.

자유 공간(free space) 내 존재하는 전자에 어떠한 외력도 없다면, Potential Function V(x)는 상수이며, E > V(x)를 만족합니다.

문제를 간단하게 하기 위해 모든 x에 대해 V(x)=0이라고 가정해보겠습니다. 그렇다면 식(2.13)은 다음과 같이 표현됩니다.

 

식 (2.19)

 

식 (2.19)는 전형적인 계수가 상수인 2차 선형 미분방정식입니다.

따라서, 이러한 미분방정식의 해는 다음과 같이 표현됩니다.

 

식 (2.20)a

또는,

 

식 (2.20)b

 

여기서 k는 wave number를 의미하며, 아래와 같이 표현됩니다. ( 식 (2.19)에서 두번째 항의 계수입니다.)

 

wave number

 

time-independent wave function에 대한 해를 구했으니, time-dependent wave function에 대한 해를 알아야겠죠?

저희는 예전에 이미 time-dependent wave function에 대한 해를 구한 적이 있습니다. 다음을 보시죠.

 

식 (2.22)

 

따라서, total wave function은 다음과 같습니다.

앞서 학습했듯이, total wave function은 time-independent wave function과 time-dependent wave function의 곱입니다.

 

식 (2.23)

 

이제 미정계수 A, B에 대한 정보만 알아낼 수만 있다면, 자유 공간 상의 모든 위치에서 V(x)=0인 전자에 대한 거동을 알 수 있습니다. 지난 포스트 글에서 다룬 경계 조건(Boundary Condition)을 통해 미정계수 A와 B를 구하도록 하겠습니다.

 

식 (2.23)에서 첫 번째 항은 +x direction의 wave 정보를 담고 있고, 두 번째 항은 -x direction의 wave 정보를 담고 있습니다.

이번 예제는 +x direction으로 움직이는 전자라고 가정하겠습니다. 따라서, B=0이므로 다음과 같은 식이 성립합니다.

 

식 (2.24)

 

where k is the wave number given by

 

식 (2.26b)

 

or

 

식 (2.25b)

 

참고로, 식 (2.25)a에서의 2mE=p^2인 이유는 에너지 보존 법칙에 의해서 입니다. (이번 예제에서는 V=0)

또한, 2.1.2에서 다룬 입자-파동 이중성에서, 입자의 파장과 운동량은 반비례함을 통해 다음의 식이 성립함을 학습했습니다.

 

식 (2.26)

 

따라서, 식 (2.25a)와 식 (2.26)을 통해 파장은 wave number로 표현할 수 있게 됩니다.

 

식 (2.27a)

 

or

 

식 (2.27b)

 

 

이제 미정계수 A만 구하면, 이번 문제의 조건을 만족하는 Total Wave function을 구할 수 있습니다.

미정계수 A는 파동 함수에 대한 확률 밀도 함수의 정의에 의해 언제나 위치와 무관한 상수임을 알 수 있습니다.

즉, well-defined momentum을 가진 자유전자는 어디에서나 동일한 확률로 발견될 수 있음을 의미합니다.

 

이러한 결과를 통해 하이젠베르크의 불확정성 원리에 대한 내용을 다시 한번 확인할 수 있습니다.

(정확한 momentum을 가진 전자라면, 모든 위치에서 전자가 발견될 확률이 모두 동일하니까요!)

 

 

다음 글에서는 두 번째 예시, 무한 전위 우물(The Infinite Potential Well)에 대해 알아보겠습니다.

감사합니다.