[물리전자] 2.2.3 경계 조건 (Boundary Conditions)

 

CHAPTER 2

Introduction to Quantum Mechanics

 

2.2.3 Boundary Conditions

이번 글에서는 파동 함수의 다양한 예시를 다루기 전에 알아야 할 경계 조건에 대해 학습해보겠습니다.

지난 포스트에서 파동 함수 ψ(x,t)를 통해 전자의 발견 가능성을 확률 밀도 함수로 표현했던 것을 다뤘습니다.

즉, 단일 입자의 시간 독립적인 파동 함수 ψ(x,t)에 대한 확률 밀도 함수는 다음의 식을 만족합니다.

 

식 (2.18)

 

간단하게 말해서 1차원 상의 공간 내에 전자는 어딘가에 반드시 존재한다는 것을 의미합니다.

물론, 불확정성의 원리에 의해 확률로 표현되겠죠.

 

식 (2.18)은 파동 함수의 경계 조건 중 하나이며, 이를 통해 임의의 파동 함수에 대해 정규화(nomalization)할 수 있습니다.

또한, 파동 함수ψ(x,t)는 E(Total Energy)와 V(Potential Function)가 유한하다는 가정 하에 다음의 두 가지 특성들을 만족합니다.

 

 

위의 두 조건이 타당한지 간단하게 알아보겠습니다.

 

1. 만약, 특정 위치에서 확률 밀도 함수가 무한하다면 어떨까요?

이 말은 곧, 해당 위치에서 입자가 반드시 발견된다는 것을 의미하고 이는 불확정성의 원리에 위배됨을 의미합니다.

따라서, 시간 독립적인 파동 함수 ψ(x)는 유한하며 일가함수(single-valued function) 입니다.

 

2. E(Total Energy)와 V(Potential Function)가 유한하다는 전제 조건에 의해 식 (2.13)으로부터 다음을 확인할 수 있습니다.

 

식 (2.13)

 

식 (2.13)을 보시면 알 수 있듯이 E, V, ψ(x) 모두 유한하므로, 파동 함수의 이계도함수 또한 유한한 것을 확인할 수 있습니다.

즉, 파동 함수의 일계도함수는 유한하며 일가함수(single-valued function)임을 알 수 있습니다.

 

3. 마지막으로 파동 함수의 일계도함수는 유한하므로 파동 함수는 연속 함수임을 알 수 있습니다.

 

 

다음 포스트에서 다룰 예시에 대해 잠깐 알아볼까요?

 

 

위의 사진을 보시면 파동 함수 문제에 대한 가능한 두 가지 경우를 확인하실 수 있습니다.

(a)의 경우는 모든 위치에서 Potential Function이 유한, (b)의 경우는 특정 위치에서 Potential Function이 무한한 경우입니다.(b)와 같은 예시에서는 일계도함수가 불연속하지만, 경계 조건에 대해서는 여전히 유효하다는 것을 통해 문제를 풀어보겠습니다.

 

지금까지 파동 함수에 대한 예시를 다루기 전, 경계 조건에 대해 학습하였습니다.

다음 포스트에서는 자유 공간 내의 전자에 대한 파동 함수에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.

감사합니다.